Проверочная матрица
Линейный систематический блочный код может быть определен также с использованием так называемой проверочной матрицы H, обладающей следующим свойством:
- если некоторая последовательность U является кодовым словом, то
U* HT
= 0. (1.17)
Другими словами, проверочная матрица H
ортогональна любой кодовой последовательности данного кода.
Проверочная матрица имеет размерность (n-k)*n
и следующую структуру :
| P00
| P10 | … | Pk-1, 0 | 1 | 0 | 0 | … | 0 | |||||||||||||
| P01 | P11 | … | Pk-1, 1 | 0 | 1 | 0 | … | 0 | |||||||||||||
| H = | P22 | P12 | … | Pk-1, 2 | 0 | 0 | 1 | … | 0 | , (1.18) | |||||||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | |||||||||||||
| P0, n-k-1 | P1, n-k-1 | … | Pk-1, n-k-1 | 0 | 0 | 0 | … | 1 | |||||||||||||
| PT | I1(n-k)´(n-k) |
где PT - транспонированная подматрица P из порождающей матрицы G
;
I1(n-k)´(n-k) - единичная матрица соответствующего размера.
Видно, что единичная и проверочная подматрицы в G и H поменялись местами, кроме того, изменился их размер.
Для рассматриваемого нами в качестве примера (7,4)-кода Хемминга проверочная матрица H имеет вид
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||||||||||
| H(7,4)= | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | . (1.19) | |||||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Проверочная матрица позволяет легко определить, является ли принятая последовательность кодовым словом данного кода.
Пусть, к примеру, принята последовательность символов c = (1011001), тогда
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | T | ||||||||||
| c* HT = (1011001) | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | = (1 1 0) ¹ 0 . | |||||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Отсюда можно сделать вывод, что последовательность c = (1011001) не является кодовым словом данного кода.
Рассмотрим другой пример. Допустим, принята последовательность d = (0010111), тогда
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
T |
|
d × HT = (0010111) |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
= (0 0 0) ¹ 0 , |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
